С помощью тройного интеграла вычислите объём тела, ограниченного поверхностями при условии , если и .

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

С помощью тройного интеграла вычислите объём тела, ограниченного поверхностями

x^{2}+y^{2}=b^{2}, \quad z=0, \quad z=a x

при условии $z \geq 0$ , если $a=7,1$ и $b=8,4$ .

Решение:

Для вычисления объёма тела, ограниченного заданными поверхностями, мы будем использовать тройной интеграл. Объём $V$ можно выразить через интеграл по области $D$ :

V = \iiint_D dV

В нашем случае область $D$ ограничена цилиндром $x^2 + y^2 = b^2$ , плоскостью $z = 0$ и поверхностью $z = ax$ . Параметры $a$ и $b$ заданы как $a = 7.1$ и $b = 8.4$ .

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Цилиндр: $x^2 + y^2 \leq b^2$ задаёт круг в плоскости $xy$ радиусом $b = 8.4$ .
Плоскость: $z = 0$ — нижняя граница.
Поверхность...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении объёма тела, ограниченного поверхностями $x^2+y^2=b^2$, $z=0$, $z=ax$ (при $z \geq 0$), с помощью тройного интеграла, почему переход к полярным координатам является предпочтительным?

Полярные координаты упрощают вычисление интеграла по $z$ .

Полярные координаты позволяют легко описать цилиндрическую поверхность $x^2+y^2=b^2$ и пределы интегрирования по $x$ и $y$ .