Сформулируйте понятия равномерной сходимости, сходимости в среднем и сходимости в среднеквадратичном для последовательности функций. Как связаны эти сходимости для функций, заданных на отрезке? Докажите это.

Ниже представлено пошаговое решение задачи.

─────────────────────────────

1. Определения сходимостей

Рассмотрим последовательность функций {fₙ} и функцию f, определённые на отрезке [a, b].

1.1. Равномерная сходимость

Последовательность функций {fₙ} сходится к f равномерно на [a, b], если

Для любого ε 0 существует натуральное число N такое, что
  для всех n ≥ N и для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство
    |fₙ(x) − f(x)| ε.

То есть максимум отклонения fₙ от f на всём отрезке становится сколь угодно малым при достаточно большом n.

1.2. Сходимость в среднем (сходимость в Lⁱ...