Решение задачи на тему

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .( mathrm{A}(4 ;-6), quad mathrm{B}(6 ; 4 sqrt{ } 6) ).

Условие:

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки
.$\mathrm{A}(4 ;-6), \quad \mathrm{B}(6 ; 4 \sqrt{ } 6)$.

Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через заданные точки $A(4, -6)$ и $B(6, 4\sqrt{6}) \...

Центр эллипса можно найти как середину отрезка, соединяющего точки $A$ и $B$ . Середина $M$ определяется по формуле:

M\left( \frac{x2}{2}, \frac{y2}{2} \right)

Подставим координаты точек $A$ и $B$ :

M\left( \frac{4 + 6}{2}, \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} \right) = M\left( 5, \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} \right)

Теперь нам нужно найти длины полуосей $a$ и $b$ . Для этого мы можем использовать расстояние между центром $M$ и точками $A$ и $B$ .

dA - xA - y_M)^2} = \sqrt{(4 - 5)^2 + \left(-6 - \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2}\right)^2}

Сначала найдем $y_M$ :

y_M = \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} = -3 + 2\sqrt{6}

Теперь подставим это значение в формулу для $d_A$ :

d_A = \sqrt{(4 - 5)^2 + \left(-6 - (-3 + 2\sqrt{6})\right)^2} = \sqrt{1 + (-3 - 2\sqrt{6})^2}

Вычислим $(-3 - 2\sqrt{6})^2$ :

(-3 - 2\sqrt{6})^2 = 9 + 12\sqrt{6} + 24 = 33 + 12\sqrt{6}

Таким образом,

d_A = \sqrt{1 + 33 + 12\sqrt{6}} = \sqrt{34 + 12\sqrt{6}}

Аналогично, найдем расстояние $d_B$ :

d_B = \sqrt{(6 - 5)^2 + \left(4\sqrt{6} - (-3 + 2\sqrt{6})\right)^2}

Вычислим $yM$ :

yM = 4\sqrt{6} - (-3 + 2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} + 3 - 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 3

Теперь подставим это в формулу для $d_B$ :

d_B = \sqrt{(6 - 5)^2 + (2\sqrt{6} + 3)^2} = \sqrt{1 + (2\sqrt{6} + 3)^2}

Вычислим $(2\sqrt{6} + 3)^2$ :

(2\sqrt{6} + 3)^2 = 24 + 12\sqrt{6} + 9 = 33 + 12\sqrt{6}

Таким образом,

d_B = \sqrt{1 + 33 + 12\sqrt{6}} = \sqrt{34 + 12\sqrt{6}}

Теперь, зная центр $M(5, -3 + 2\sqrt{6})$ и полуоси $a$ и $b$ , можем записать уравнение эллипса в канонической форме:

\frac{(x - 5)^2}{a^2} + \frac{(y - (-3 + 2\sqrt{6}))^2}{b^2} = 1

Где $a$ и $b$ равны расстояниям $dB$ .

Подставив значения $a$ и $b$ в уравнение, получаем каноническое уравнение эллипса:

\frac{(x - 5)^2}{34 + 12\sqrt{6}} + \frac{(y + 3 - 2\sqrt{6})^2}{34 + 12\sqrt{6}} = 1

Это и есть искомое каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки $A$ и $B$ .