Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности в точке — задача №518089

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности в точке — задача №518089

Условие:

Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности $z x-\frac{y}{z}+\frac{x^{2}}{2 y}=2$ в точке $M(1 ; 1 ; 2)$

Решение:

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением
z·x – (y/z) + (x²/(2y)) = 2.
Для удобства запишем её в виде F(x,y,z) = xz – y/z + x²/(2y) – 2 =
0.

Найдем частные производные функции F в точке M(1;1;2).

Производная по x:
∂/∂x (xz) = z,
∂/∂x (–y/z) = 0,
∂/∂x (x²/(2y)) = (2x)/(2y) = x/y.
Таким образом, Fₓ(x,y,z) = z + x/y.
В точке M: Fₓ(1,1,2) = 2 + 1 =
3.
Производная по y:
∂/∂y (xz) = 0,
∂/∂y (–y/z) =...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно быть выполнено для функции F(x,y,z), чтобы уравнение Fₓ(M)(x – x₀) + Fᵧ(M)(y – y₀) + F𝓏(M)(z – z₀) = 0 корректно описывало касательную плоскость к поверхности в точке M(x₀, y₀, z₀)?

Функция F(x,y,z) должна быть непрерывной в точке M.

Функция F(x,y,z) должна быть дифференцируемой в точке M.

Функция F(x,y,z) должна быть равна нулю в точке M.