Среди перечисленных дифф. уравнений найти уравнения в полных дифференциалах ; Б) ; ) Найти общее решение дифференциального уравнения

Добавлена: 09.06.2026
Обновлена: 09.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Среди перечисленных дифф. уравнений найти уравнения в полных дифференциалах ; Б) ; ) Найти общее решение дифференциального уравнения

Условие:

Среди перечисленных дифф. уравнений найти уравнения в полных дифференциалах $\left(2 x^{3}+6 x y^{2}\right) d x+\left(6 x^{2} y-4 y^{2}\right) d y=0$ ; Б) $(5 x+6 y) d x+(6 x-5 y+3) d y=0$ ;\nB) $\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x y+y^{2}+4\right) d y=0$ Найти общее решение дифференциального уравнения $y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}=0$

Решение:

Часть 1: Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида $P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие:

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

Анализ уравнения А:

$(2x^3 + 6xy^2) dx + (6x^2y - 4y^2) dy = 0$

$P = 2x^3 + 6xy^2 \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y} = 12xy$
$Q = 6x^2y - 4y^2 \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy$ Так как $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ , это уравнение в полных дифференциалах.

Анализ уравнения Б:

$(5x + 6y) dx + (6x - 5y + 3) dy = 0$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для дифференциального уравнения вида $ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 $, чтобы оно считалось уравнением в полных дифференциалах?

$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$