Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют толщину . Каковы должны быть размеры цилиндра емкостью , чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала?

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория оптимизации
#Вариационное исчисление

Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют толщину . Каковы должны быть размеры цилиндра емкостью , чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала?

Условие:

Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют толщину $0,5 с м$ . Каковы должны быть размеры цилиндра емкостью $512 л$ , чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Найдём оптимальные размеры (внутренние габариты) цилиндра – радиус основания r и высоту h – при условии, что внутренний объём равен 512 л (то есть 512 000 см³), а конструкция имеет стенки и дно толщиной t = 0,5 см. При этом цилиндр открыт сверху.

Обозначим:
r – внутренний радиус (в см),
h – внутренняя высота (в см),
t = 0,5 см.
Условие по объёму:
π·r²·h = 512 000.

Конструкция состоит из двух деталей: дна – круглой пластины толщиной t и стенки – цилиндрического кожуха той же толщины. При этом внешний контур всей емкости – цилинд...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих выражений корректно описывает объем материала, необходимого для изготовления цилиндра с толщиной стенок и дна $t$, внутренним радиусом $r$ и внутренней высотой $h$, если цилиндр открыт сверху?

$M = \pi (r+t)^2 (h+t) - \pi r^2 h$