Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости . Каковы должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R ), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория оптимизации

Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости . Каковы должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R ), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

Условие:

Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости $\mathrm{V}=14,14 \mathrm{~m}^{3}\left(\mathrm{~V}=\frac{9}{2} \pi\right)$ . Каковы должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R ), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

Решение:

Мы ищем такие размеры прямого кругового конуса (высоту H и радиус основания R), при которых, при заданном объёме

V = (1/3)·π·R²·H = (9/2)·π (то есть V = 14,14 м³),
будет минимальна площадь заготовки полотна. Для шатра (тента) обычно используется только боковая (наклонная) поверхность, которая имеет площадь

S = π·R·s, где s = √(R² + H²) – образующая конуса.

Наша задача – минимизировать S при условии фиксированного объёма V.

──────────────────────────────
Шаг 1. Выразим H через R через условие объёма.

Из ус...