3. Геометрия на плоскости Треугольник АВС задан своими вершинами: А, В, С. Сделать чертёж и найти: 1) уравнения сторон АВ и АС; 2) угол между ними; 3) уравнения медианы СК; 4) высоты АМ.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

Вершины треугольника:
- $A(-5, 3)$
- $B(1, 6)$
- $C(5, 1)$

1) Уравнения сторон $AB$ и $AC$

Уравнение сторо...:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки $A(x1)$ и $B(x2)$, используем формулу:

$$y - y1)$$

где $m$ — угловой коэффициент, который вычисляется как:

$$m = \frac{y1}{x1}$$

Подставим координаты точек $A$ и $B$:

$$m_{AB} = \frac{6 - 3}{1 - (-5)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Теперь подставим в уравнение прямой:

$$y - 3 = \frac{1}{2}(x + 5)$$

Упрощаем:

$$y - 3 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$

$$y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} + 3$$

$$y = \frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$$

Таким образом, уравнение стороны $AB$:

$$y = \frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$$

:

Теперь найдем уравнение прямой $AC$:

$$m_{AC} = \frac{1 - 3}{5 - (-5)} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$

Подставляем в уравнение:

$$y - 3 = -\frac{1}{5}(x + 5)$$

Упрощаем:

$$y - 3 = -\frac{1}{5}x - 1$$

$$y = -\frac{1}{5}x + 2$$

Таким образом, уравнение стороны $AC$:

$$y = -\frac{1}{5}x + 2$$

Для нахождения угла между двумя прямыми, нужно использовать угловые коэффициенты $m2$:

$$\tan(\theta) = \left| \frac{m2}{1 + m2} \right|$$

Подставим значения:

$$m2 = -\frac{1}{5}$$

$$\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{5}\right)}{1 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{10}} \right|$$

Сначала найдем общий знаменатель для числителя:

$$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}, \quad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \Rightarrow \frac{5 + 2}{10} = \frac{7}{10}$$

Теперь подставим в формулу:

$$\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} \right| = \frac{7}{9}$$

Теперь найдем угол $\theta$:

$$\theta = \arctan\left(\frac{7}{9}\right)$$

Точка $K$ — середина отрезка $AB$. Найдем координаты точки $K$:

$$K\left(\frac{xB}{2}, \frac{yB}{2}\right) = K\left(\frac{-5 + 1}{2}, \frac{3 + 6}{2}\right) = K\left(-2, \frac{9}{2}\right)$$

Теперь найдем угловой коэффициент $m_{CK}$:

$$m_{CK} = \frac{\frac{9}{2} - 1}{-2 - 5} = \frac{\frac{7}{2}}{-7} = -\frac{1}{2}$$

Уравнение медианы $CK$:

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 5)$$

Упрощаем:

$$y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$

$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$$

Точка $M$ — проекция точки $A$ на прямую $BC$. Сначала найдем уравнение прямой $BC$:

$$m_{BC} = \frac{1 - 6}{5 - 1} = \frac{-5}{4}$$

Уравнение прямой $BC$:

$$y - 6 = -\frac{5}{4}(x - 1)$$

Упрощаем:

$$y - 6 = -\frac{5}{4}x + \frac{5}{4}$$

$$y = -\frac{5}{4}x + \frac{29}{4}$$

Теперь найдем перпендикуляр из точки $A$ к прямой $BC$. Угловой коэффициент перпендикуляра будет равен $\frac{4}{5}$:

$$y - 3 = \frac{4}{5}(x + 5)$$

Упрощаем:

$$y - 3 = \frac{4}{5}x + 4 \Rightarrow y = \frac{4}{5}x + 7$$

Теперь решим систему уравнений:

1. $y = -\frac{5}{4}x + \frac{29}{4}$
2. $y = \frac{4}{5}x + 7$

Приравняем:

$$-\frac{5}{4}x + \frac{29}{4} = \frac{4}{5}x + 7$$

Умножим на 20, чтобы избавиться от дробей:

$$-25x + 145 = 16x + 140$$

$$-41x = -5 \Rightarrow x = \frac{5}{41}$$

Теперь подставим $x$ в одно из уравнений, например, во второе:

$$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{41} + 7 = \frac{4}{41} + 7 = \frac{4 + 287}{41} = \frac{291}{41}$$

Таким образом, координаты точки $M$:

$$M\left(\frac{5}{41}, \frac{291}{41}\right)$$

Теперь у нас есть все необходимые уравнения и координаты.

1. Уравнения сторон:

   • $AB: y = \frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$
   • $AC: y = -\frac{1}{5}x + 2$

2. Угол между ними: $\theta = \arctan\left(\frac{7}{9}\right)$

3. Уравнение медианы $CK: y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

4. Высота $AM$ проходит через точку $M\left(\frac{5}{41}, \frac{291}{41}\right)$.