Разбор задачи

\( u{t}- {1}{4} u{x x}=0 ; 0

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дифференциальные уравнения
#Уравнения математической физики

$\( u{t}- {1}{4} u{x x}=0 ; 0$

Условие:

$u_{t}-\frac{1}{4} u_{x x}=0 ; 0<x<\frac{1}{2} ;\left.u\right|_{t=0}=\sin ^{3}(\pi x)+4 \sin 2 \pi x,\left.u\right|_{x=0}=\left.u\right|_{x=\frac{1}{2}}=0$ .

Решение:

u_t – (1/4) uₓₓ = 0, для 0 < x < 1/2, t > 0
u(x,0) = sin³(πx) + 4 sin(2πx),
u(0,t) = u(1/2,t) =
0.

Заметим, что стандартный метод разделения переменных применим для классических граничных условий, когда решение ищется в виде ряда собственных функций оператора uₓₓ с нулевой краевой оценкой. Далее приведем пошаговое рассуждение.

ШАГ 1. Выбор базиса (собственных функций)

Ищем решения вида u(x,t) = X(x) T(t). Подставляем в уравнение:
X(x) T′(t) – (1/4) X″(x) T(t) = 0.
Разделив переменные, получаем
...