Упражнение 2.2.6. Пусть n — натуральное число, а P(m) — свойство, относящееся к натуральным числам, такое, что если P(m++) истинно, то P(m) истинно. Предположим, что P(n) также истинно. Докажите, что P(m) истинно для всех натуральных чисел m ≤ n. Это

25 ноября 2025
Высшая математика

#Дискретная математика
#Математическая логика

Упражнение 2.2.6.
Пусть n — натуральное число, а P(m) — свойство, относящееся к натуральным числам, такое, что если P(m++) истинно, то P(m) истинно. Предположим, что P(n) также истинно. Докажите, что P(m) истинно для всех натуральных чисел m ≤ n. Это

Условие:

Докажи: Exercise 2.2.6. Let n be a natural number, and let P(m) be a property pertaining
to the natural numbers such that whenever P(m++) is true, then P(m)
is true. Suppose that P(n) is also true. Prove that P(m) is true for all natural
numbers m ≤ n; this is known as the principle of backwards induction. (Hint:
apply induction to the variable n.)

Решение:

Мы хотим доказать, что если выполнены следующие условия:

Для любого натурального числа m выполняется: если P(m + 1) истинно, то P(m) истинно.
P(n) истинно для некоторого фиксированного натурального числа n,

то для всех натуральных чисел m таких, что m ≤ n, свойство P(m) истинно.

Доказательство проводится с помощью индукции «назад» (то есть по убыванию от n).

Шаг 1. Базовый случай.

Поскольку условие гласит, что P(n) истинно, базовый случай (когда m = n) доказан.

Шаг 2. Индукционный шаг.

Пусть для некоторого натурального числа k, где 1 ≤ k ≤ n, мы знаем, что для некоторого m, удовле...

Не нашел нужную задачу?

Воспользуйся поиском

AI помощники

Больше о Кэмпе

Выбери предмет

EVIEWS

SPSS

Естествознание

Ценообразование и оценка бизнеса

Черчение