Разбор задачи

Упростить при

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Алгебраические структуры

Условие:

Упростить $\left(\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}}-\frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}\right) \cdot\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}$ при $\mathrm{x}>0, \mathrm{y}>0$

Решение:

Шаг 1: Упрощение первого слагаемого в скобках

Первое слагаемое:

A = \frac{x-y}{x^{3/4} + x^{1/2} y^{1/4}}

Заметим, что (x-y) можно разложить как ((x^{1/2} - y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2})), но удобнее вынести общий множитель в знаменателе.

В знаменателе: (x^{3/4} + x^{1/2} y^{1/4} = x^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4})).

Тогда:

A = \frac{x-y}{x^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4})}.

Разложим (x-y) как ((x^{1/4})^4 - (y^{1/4})^4 = (x^{1/4} - y^{1/4})(x^{1/4} + y^{1/4})(x^{1/2} + y^{1/2})).

Подставим:

A = \frac{(x^{1/4} - y^{1/4})(x^{1/4} + y^{1/4})(x^{1/2} + y^{1/2})}{x^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4})}.

Сокращаем (x^{1/4} + y^{1/4}):

A = \frac{(x^{1/4} - y^{1/4})(x^{1/2} + y^{1/2})}{x^{1/2}}.

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих преобразований является ключевым для упрощения выражения $x-y$ в виде разности четвёртых степеней при работе с дробными показателями?

$x-y = (x^{1/2} - y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2})$