Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.
$
\begin{array}{l}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(3 n-2)!} \\
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n+1)}{n(n+2)} \\
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot(4 n-1)}{5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot(3 n+2)}
\end{array}
$
Рассмотрим каждый ряд по отдельности.
─────────────────────────────
• Заметим, что в знаменателе стоит факториал (3n–2)!, который растёт очень быстро (суперэкспоненциально). • Поэтому абсолютные модули членов ряда |aₙ| = 1/(3n–2)! стремятся к нулю даже очень быстро, и ряд сходится абсолютно.
───────────────────────────── 2) Ряд: ∑ₙ₌₁∞ [ (–1)ⁿ (2n + 1)/(n(n + 2)) ]
• Сначала исследуем абсолютную сходимость. Абсолютные члены: aₙ = (2n + 1)/(n(n + 2)). При n → ∞ имеем асимптотику: (2n + 1)/(n(n + 2)) ~ 2n/(n²) = 2/n. • Сумма ∑ 2/n ведёт себя, как ...
Не нашел нужную задачу?