В центре сферического слоя диэлектрика с диэлектрической проницаемостью находится точечный заряд . Внутри диэлектрика распределен сторонний заряд с объемной плотностью . Внутренний и внешний радиусы сферического слоя . Определить разность потенциалов

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

В центре сферического слоя диэлектрика с диэлектрической проницаемостью находится точечный заряд . Внутри диэлектрика распределен сторонний заряд с объемной плотностью . Внутренний и внешний радиусы сферического слоя . Определить разность потенциалов

Условие:

В центре сферического слоя диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=\frac{\alpha}{r^{2}}$ находится точечный заряд $Q$ . Внутри диэлектрика распределен сторонний заряд с объемной плотностью $p$ . Внутренний и внешний радиусы сферического слоя $R_{1}, R_{2}$ . Определить разность потенциалов между границами диэлектрика. ( $r$ - расстояние от центра сферы, $\alpha$ - известная постоянная).

Решение:

Мы хотим найти разность потенциалов (например, V₁ – V₂, где
V₁ = потенциал на внутренней границе r = R₁,
V₂ = потенциал на внешней границе r = R₂)
в слое диэлектрика, в котором проницаемость зависит от расстояния по закону

ε(r) = α⁄r².

При этом в центре (r = 0) находится точечный заряд Q, а в объёме диэлектрика (то есть при R₁ ≤ r ≤ R₂) распределён «сторонний» (свободный) заряд с объемной плотностью p.

Мы будем последовательно действовать следующим образом.

──────────────────────────────