В области, ограниченной эллипсом , случайным образом выбираются две точки. Пусть и - события, состоящие в том, что: расстояние между выбранными точками меньше 9,2; - координаты первой точки больше 0, а координаты второй точки меньше 0. Найдите

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Метод Монте-Карло

В области, ограниченной эллипсом , случайным образом выбираются две точки. Пусть и - события, состоящие в том, что: расстояние между выбранными точками меньше 9,2; - координаты первой точки больше 0, а координаты второй точки меньше 0. Найдите

Условие:

В области, ограниченной эллипсом $\left(\frac{u}{23}\right)^{2}+\left(\frac{v}{6}\right)^{2}=1$ , случайным образом выбираются две точки. Пусть $A$ и $B$ - события, состоящие в том, что: $A$ расстояние между выбранными точками меньше 9,2; $B$ - координаты первой точки больше 0, а координаты второй точки меньше 0. Найдите приближенно, методом Монте-Карло: 1) вероятность $\mathbf{P}(A) ; 2)$ условную вероятность $\mathbf{P}(A \mid B)$ . Указание: получите внутри заданного эллипса 100000 пар точек и, используя все эти пары точек, найдите ответы, округляя их до одного знака после запятой.

Решение:

Дано

Область $\Omega$ : Эллипс, заданный уравнением:
$\left(\frac{u}{23}\right)^{2}+\left(\frac{v}{6}\right)^{2}=1$
Это означает, что точки $(u, v)$ лежат внутри или на границе этого эллипса.
Количество испытаний: $N = 100000$ пар точек.
События:

$A$ : Расстояние $d$ между двумя случайно выбранными точками $P_1 = (u_1, v_1)$ и $P_2 = (u_2, v_2)$ меньше $9.2$ .
$d = \sqrt{(u_1 - u_2)^2 + (v_1 - v_2)^2} < 9.2$
$B$ : Координаты первой точки $P_1$ больше 0, а координаты второй точки $P_2$ меньше

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод генерации случайных точек внутри эллипса обеспечивает равномерное распределение по площади?

Генерация случайных координат (u, v) в прямоугольнике, описывающем эллипс, с последующей отбраковкой точек вне эллипса.

Использование полярных координат с равномерно распределенным углом θ ∈ [0, 2π] и радиусом R = √r, где r ∈ [0, 1] равномерно распределено, с последующим масштабированием по осям эллипса.

Генерация случайных координат (u, v) в прямоугольнике, описывающем эллипс, и использование их напрямую, без отбраковки.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Метод Монте-Карло — это численный метод, основанный на многократном повторении случайных испытаний для получения статистической оценки неизвестного параметра.
Для равномерной генерации точек внутри эллипса с полуосями $a$ и $b$ можно использовать преобразование полярных координат: $u = a \cdot \sqrt{r_2} \cdot \cos(2\pi r_1)$ и $v = b \cdot \sqrt{r_2} \cdot \sin(2\pi r_1)$ , где $r_1, r_2$ — независимые случайные числа, равномерно распределенные в интервале $[0, 1]$ .
Вероятность события $P(X)$ оценивается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу испытаний: $P(X) \approx \frac{\text{Количество наступлений } X}{\text{Общее количество испытаний}}$ .
Расстояние между двумя точками $(u_1, v_1)$ и $(u_2, v_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(u_1 - u_2)^2 + (v_1 - v_2)^2}$ .
Условная вероятность $P(A \mid B)$ (вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло) оценивается как отношение числа совместных наступлений событий $A$ и $B$ к числу наступлений события $B$ : $P(A \mid B) \approx \frac{\text{Количество наступлений } (A \cap B)}{\text{Количество наступлений } B}$ .