22.5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны ос-нования равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 22.7). Найдите угол между векторами: а) SA и SD; б) ЅА и ВС. Решая без системы координат и используя скалярное произведение

Для решения задачи о нахождении углов между векторами в правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, воспользуемся свойствами векторов и скаля...

1. :

   • Вектор SA направлен от вершины S к вершине A.
   • Вектор SD направлен от вершины S к вершине D.

2. :

   • Вектор SA направлен от вершины S к вершине A.
   • Вектор BC направлен от вершины B к вершине C.

3. :

   • Длина бокового ребра (SA и SD) равна 2.
   • Длина основания (AB, BC и т.д.) равна 1.

4. :

   • В основании шестиугольника стороны равны 1, следовательно, длина вектора BC равна 1.

Для нахождения угла между векторами воспользуемся формулой скалярного произведения:

где (\theta) — угол между векторами (\vec{a}) и (\vec{b}).

1. :

   • Векторы SA и SD образуют угол 120° в основании (так как шестиугольник правильный).
   • Скалярное произведение можно выразить как:
     $$SA \cdot SD = |SA| \cdot |SD| \cdot \cos(120°)$$
   • Подставляем значения:
     $$SA \cdot SD = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$$

2. :

   • Теперь можем найти угол:
     $$\cos(\theta) = \frac{SA \cdot SD}{|SA| \cdot |SD|} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$$
   • Таким образом, (\theta = 120°).

3. :

   • Векторы SA и BC образуют угол 90° (так как SA идет вверх, а BC — по основанию).
   • Скалярное произведение:
     $$SA \cdot BC = |SA| \cdot |BC| \cdot \cos(90°) = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0$$

4. :

   • Поскольку скалярное произведение равно нулю, это означает, что угол между векторами SA и BC равен 90°.

а) Угол между векторами SA и SD равен 120°.

б) Угол между векторами SA и BC равен 90°.