В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние: а) от точки A до прямой CD б) от середины ребра CC1до прямой BD1 если AB=2, BC=3, VABCDA1B1C1D1=24

Для решения задачи сначала определим размеры прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Из условия известно, что объем V = 24, а также длины двух рёбер: AB = 2 и BC = 3. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ V = AB \cdot BC \cdo...

Прямая CD проходит через точки C(2, 3, 0) и D(0, 3, 0). Уравнение прямой можно записать в параметрической форме: \[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (0 - 2, 3 - 3, 0 - 0) = (-2, 0, 0) \] Теперь найдем вектор, соединяющий точку A и точку C: \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (2, 3, 0) \] Теперь найдем проекцию вектора AC на вектор CD. Для этого найдем длину вектора CD: \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = 2 \] Теперь найдем проекцию: \[ \text{proj}_{\vec{CD}} \vec{AC} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CD}|^2} \cdot \vec{CD} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{AC} \cdot \vec{CD} = (2)(-2) + (3)(0) + (0)(0) = -4 \] Теперь подставим в формулу проекции: \[ \text{proj}_{\vec{CD}} \vec{AC} = \frac{-4}{2^2} \cdot (-2, 0, 0) = \frac{-4}{4} \cdot (-2, 0, 0) = (-2, 0, 0) \] Теперь найдем вектор, перпендикулярный CD: \[ \vec{AP} = \vec{AC} - \text{proj}_{\vec{CD}} \vec{AC} = (2, 3, 0) - (-2, 0, 0) = (4, 3, 0) \] Теперь найдем длину этого вектора: \[ |\vec{AP}| = \sqrt{(4)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Таким образом, расстояние от точки A до прямой CD равно 5. Сначала найдем координаты середины ребра CC1. Координаты точки C(2, 3, 4) и C1(2, 3, 0). Середина M будет: \[ M = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{3 + 3}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (2, 3, 2) \] Теперь найдем уравнение прямой BD1. Прямая BD1 проходит через точки B(2, 0, 0) и D1(0, 3, 4). Вектор BD1: \[ \vec{BD1} = \vec{D1} - \vec{B} = (0 - 2, 3 - 0, 4 - 0) = (-2, 3, 4) \] Теперь найдем вектор BM: \[ \vec{BM} = \vec{M} - \vec{B} = (2 - 2, 3 - 0, 2 - 0) = (0, 3, 2) \] Теперь найдем проекцию BM на BD1. Сначала найдем длину вектора BD1: \[ |\vec{BD1}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] Теперь найдем скалярное произведение: \[ \vec{BM} \cdot \vec{BD1} = (0)(-2) + (3)(3) + (2)(4) = 0 + 9 + 8 = 17 \] Теперь подставим в формулу проекции: \[ \text{proj}_{\vec{BD1}} \vec{BM} = \frac{17}{29} \cdot \vec{BD1} = \frac{17}{29} \cdot (-2, 3, 4) = \left( -\frac{34}{29}, \frac{51}{29}, \frac{68}{29} \right) \] Теперь найдем вектор, перпендикулярный BD1: \[ \vec{AP} = \vec{BM} - \text{proj}_{\vec{BD1}} \vec{BM} = (0, 3, 2) - \left( -\frac{34}{29}, \frac{51}{29}, \frac{68}{29} \right) \] Теперь найдем длину этого вектора, чтобы получить расстояние. Расстояние от середины ребра CC1 до прямой BD1 равно длине вектора AP. Таким образом, расстояния: а) от точки A до прямой CD равно 5. б) от середины ребра CC1 до прямой BD1 можно найти, подставив значения в формулу и вычислив длину вектора AP.