Чтобы доказать справедливость данной формулы, начнем с левой части уравнения:

1. Рассмотрим выражение ((\vec{b} \times \vec{c})). Это вектор, перпендикулярный к плоскости, образованной векторами (\vec{b}) и (\vec{c}).

2. Далее, вычислим ((\vec{b} \times \vec{f})). Это также вектор, перпендикулярный к плоскости, образованной векторами (\vec{b}) и (\vec{f}).

3. Теперь вычислим векторное произведение ((\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{b} \times \vec{f})). Используем формулу векторного произведения:

   $$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v} \vec{n} - \vec{v} \cdot \vec{u} \vec{n}$$
   где (\vec{n}) - единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, образованной (\vec{u}) и (\vec{v}).

4. После этого, мы получаем новый вектор, который также будет перпендикулярен к некоторым из векторов (\vec{b}), (\vec{c}), (\vec{f}).

5. Теперь мы умножаем этот результат на ((\vec{b} \times \vec{c})). Это снова векторное произведение, и результат будет перпендикулярен к ((\vec{b} \times \vec{c})).

6. Теперь перейдем к правой части уравнения:

   $$\left\{c^{2} b^{2} - (\vec{c} \cdot \vec{b})^{2}\right\}(\vec{b} \times \vec{f}) \cdot \vec{c}$$
   ...