Выбрать все уравнения в полных дифференциалах
$
\begin{array}{l}
(y+\sqrt{x y}) d x-x d y=0 \\
\left(2 y-\frac{x}{y}\right) d y=(\ln y-2 x) d x \\
2 x \ln y d x+\left(\frac{x^{2}}{y}+y \sqrt{1+y^{2}}\right) d y=0 \\
(x+1) d y+\left(y^{2}-1\right) d x=0 \\
\left(\frac{1}{x^{2}}-y\right) d x+(y-x) d y=0 \\
d x+\sqrt{x^{2}+4} \text { tgydy }=0
\end{array}
$
(выбор из нескольких вариантов)
Рассмотрим каждое уравнение, записывая их в виде M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, и проверим условие на полный дифференциал, то есть Mₙy = Nₓ.
Уравнение: (y + √(xy)) dx – x dy = 0 Принимаем M(x,y) = y + √(xy) и N(x,y) = –x. Найдём Mₙy: ∂/∂y [y] = 1, ∂/∂y [√(xy)] = ∂/∂y [√x √y] = √x · (1/(2√y)) = x/(2√(xy)). Итак, Mₙy = 1 + x/(2√(xy)). Найдём Nₓ: ∂/∂x (–x) = –1. Поскольку 1 + x/(2√(xy)) ≠ –1 для произвольных x и y, уравнение не является полным дифференциалом.
Уравнение: (2y – x/y) dy = (ln y – 2x) dx Приведём к общему виду: (ln y – 2x) dx – (2y – x/y) dy = 0. Положим M(x,y) = ...