Вычислить двойной интеграл от функции по области, ограниченной кардиоидой и окружностью . (Имеется в виду область, не содержащая полюса.)

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Вычислить двойной интеграл от функции по области, ограниченной кардиоидой и окружностью . (Имеется в виду область, не содержащая полюса.)

Условие:

Вычислить двойной интеграл от функции $f(r, \varphi)=r$ по области, ограниченной кардиоидой $r=a(1+\cos \varphi)$ и окружностью $r=a$ . (Имеется в виду область, не содержащая полюса.)

Решение:

1. Дано

Функция, которую нужно интегрировать:

f(r, \varphi) = r

Область интегрирования $D$ ограничена:

Кардиоидой: $r_1 = a(1 + \cos \varphi)$
Окружностью: $r_2 = a$

Требуется вычислить интеграл по области, которая не содержит полюса (начала координат, $r=0$ ).

2. Найти

Требуется вычислить двойной интеграл:

I = \iint_D r \, dA

где

dA

в полярных координатах равно

r \, dr \, d\varphi

I = \iint_D r^2 \, dr \, d\varphi

3. Решение

Шаг 1: Определение области интегрирования $D$

Сначала найдем точки пересечения кардиоиды и окружности, чтобы определ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении двойного интеграла в полярных координатах по области, ограниченной кардиоидой $r=a(1+\cos \varphi)$ и окружностью $r=a$ (область, не содержащая полюса), какие пределы интегрирования по углу $\varphi$ следует использовать?

$0 \le \varphi \le \pi$

$-\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$