Условие:
Вычислить двойной интеграл x*y dx dy по области G, где область G ограничена кривыми y+x=2, x2+y2=2y, x>0
Решение:
Для вычисления двойного интеграла \(\iint_G x y \, dx \, dy\) по области \(G\), ограниченной кривыми \(y + x = 2\) и \(x^2 + y^2 = 2y\) с условием \(x 0\), сначала определим область интегрирования.
-
Найдем пересечения кривых.
Уравнение (y + x = 2) можно переписать как (y = 2 - x).
Уравнение (x^2 + y^2 = 2y) можно переписать как (x^2 + (y - 1)^2 = 1), что представляет собой окружность радиуса 1 с центром в точке ((0, 1)).
Теперь найдем точки пересечения этих двух кривых. Подставим (y = 2 - x) в уравнение окружности:
$ x^...