Вычислить , где - петля кривой с положительным направлением обхода.

Для вычисления интеграла $\int_{L} x \, dy - y \, dx$, где $L$ - петля кривой $x^{4}+y^{4}=4 a^{2}(x^{2}+y^{2})$, мы можем воспользоваться теоремой Грина.

1. Определим область интегрирования: Кривая $L$ задается уравнением $x^{4}+y^{4}=4 a^{2}(x^{2}+y^{2})$. Это уравнение описывает замкнутую кривую в плоскости. Мы будем рассматривать область $D$, ограниченную этой кривой.

2. Применим теорему Грина: Теорема Грина связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной этой кривой. В нашем случае:

   $$\int_{L} x \, dy - y \, dx = \iint_{D} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) \, dA,$$
   где $M = -y$ и $N = x$.

3. Вычислим частные производные:

   $$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1,$$
   ...