Интеграл по K 2x dy-3y dx, если К-контур треугольника с вершинами А (1; 2), В (3; 1), С (2; 5), пробегаемый против хода часовой стрелки.

Для вычисления интеграла по контуру $K$ треугольника с вершинами $A(1, 2)$, $B(3, 1)$, $C(2, 5)$ мы будем использовать теорему Грина.

Формула теоремы Грина выглядит ...

Сначала найдем частные производные $Q$ и $P$:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (2x)}{\partial x} = 2$$

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (-3y)}{\partial y} = -3$$

Теперь подставим эти значения в формулу теоремы Грина:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$$

Теперь нам нужно найти область $R$, ограниченную треугольником $ABC$. Для этого определим координаты вершин:

• $A(1, 2)$
• $B(3, 1)$
• $C(2, 5)$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \left| x2 - y2(y1) + x1 - y_2) \right|$$

Подставим координаты:

$$S = \frac{1}{2} \left| 1(1 - 5) + 3(5 - 2) + 2(2 - 1) \right|$$

$$= \frac{1}{2} \left| 1(-4) + 3(3) + 2(1) \right|$$

$$= \frac{1}{2} \left| -4 + 9 + 2 \right| = \frac{1}{2} \left| 7 \right| = \frac{7}{2}$$

Теперь мы можем вычислить двойной интеграл:

$$\iint_{R} 5 \, dA = 5 \cdot S = 5 \cdot \frac{7}{2} = \frac{35}{2}$$

Таким образом, значение интеграла по контуру $K$ равно:

$$\oint_{K} (2x \, dy - 3y \, dx) = \frac{35}{2}$$