Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода: где - часть параболы , находящейся в верхней полуплоскости .

Шаг 1: Дано

Нам нужно вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

где $L$ — часть параболы $y = 2 \sqrt{x}$ в верхней полуплоскости при $0 \leq x \leq 1$.

Шаг 2: Найти

Мы должны определить параметризацию кривой $L$ и затем вычислить интеграл.

Шаг 3: Решение

1. Параметризация:

   Мы можем использовать параметризацию по переменной $x$. Параметризуем $L$ следующим образом:

   $$\nx = t, \quad y = 2\sqrt{t}, \quad 0 \leq t \leq 1$$