Вычислить криволинейный интеграл , где кривая , соединяющая точки и .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Вычислить криволинейный интеграл , где кривая , соединяющая точки и .

Условие:

Вычислить криволинейный интеграл $\int_{L} \frac{d l}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ , где $L$ кривая $y=\operatorname{tg} x$ , соединяющая точки $A(0 ; 0)$ и $B\left(\frac{\pi}{4} ; 1\right)$ .

Решение:

Рассмотрим задачу:

Нужно вычислить криволинейный интеграл
I = ∫ₗ (dl / √(1 + cos⁴ x)),
где кривая L задана уравнением y = tg x, соединяющая точки A(0; 0) и B(π/4; 1).

Шаг 1. Параметризация кривой
Поскольку кривая задана уравнением y = tan x, удобно выбрать параметризацию через x:
r(x) = (x, tan x), при x ∈ [0, π/4].

Шаг 2. Вычисление дифференциала длины дуги dl
Напомним, что площадь элемента дуги определяется как:
dl = √( (dx/dx)² + (dy/dx)² ) dx =...