Вычислить криволинейный интеграл где L-дуга параболы от .

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Вычислить криволинейный интеграл где L-дуга параболы от .

Условие:

Вычислить криволинейный интеграл $\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) d x+\left(2 x y+y^{2}\right) d y$ где L-дуга параболы $y=x^{2}$ от $A(1,1)_{\text {до }} B(2,4)$ .

Решение:

Для вычисления криволинейного интеграла

\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) d x+\left(2 x y+y^{2}\right) d y,

где $L$ — дуга параболы $y = x^2$ от точки $A(1, 1)$ до точки $B(2, 4)$ , следуем следующим шагам.

Шаг 1: Параметризация кривой

Параметризуем кривую $L$ . Поскольку $y = x^2$ , можно взять параметризацию в виде:

\nx = t, \quad y = t^2,

где $t$ изменяется от $1$ до $2$ (так как $A(1,1)$ соответствует $t=1$ , а $B(2,4)$ соответствует $t=2$ ).

Шаг 2: Вычисление производных

Теперь находим производные $dx$ и $dy$ :

\ndx = dt, \quad dy = 2t \, dt.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для вычисления криволинейного интеграла второго рода по заданной кривой $L$, если $L$ является дугой параболы $y=x^2$?

Метод замены переменных в полярные координаты.

Метод параметризации кривой $L$ и сведение к определённому интегралу.

Применение формулы Грина без проверки условий её применимости.