Условие:
Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии ρ=2cos³ (φ/3)
Решение:
Для вычисления длины дуги кривой, заданной в полярных координатах, используем формулу:
L = ∫ (√(r(φ)² + (dr/dφ)²)) dφ,
где r(φ) — это функция, описывающая кривую, а dr/dφ — производная этой функции по φ.
В нашем случае r(φ) = 2cos³(φ/3).
-
Найдем dr/dφ: r(φ) = 2cos³(φ/3). Применим правило дифференцирования: dr/dφ = 2 * 3cos²(φ/3) * (-sin(φ/3)) * (1/3) = -2cos²(φ/3)sin(φ/3).
-
Теперь подставим r(φ) и dr/dφ в формулу для длины дуги: L = ...