Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж. 2𝑦 2 = 𝑥, 𝑥 4 + 𝑦 2 + 𝑧 4 = 1, 𝑧 = 0 Решение: 𝑉 = ∭𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑇 𝑥 4 + 𝑦 2 = 1 => 𝑧 = 1 − 𝑥 − 2𝑦 Построим проекцию тела на плоскость 𝑂𝑥𝑦: Задача №6 𝑇: { 1 ≤ 𝑦 ≤ −2 2𝑦 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 − 2𝑦 0

Для вычисления объема тела, ограниченного заданными поверхностями, начнем с анализа условий задачи.

Заданные ...

1. $2y^2 = x$ 2. $\frac{x^4}{4} + y^2 + \frac{z^4}{4} = 1$ 3. $z = 0$

Сначала найдем границы интегрирования. Из первого уравнения $2y^2 = x$ можно выразить $x$ через $y$:

$$x = 2y^2$$

Второе уравнение можно переписать для $z = 0$:

$$\frac{x^4}{4} + y^2 = 1 \implies y^2 = 1 - \frac{x^4}{4}$$

Теперь найдем границы для $y$ и $x$. Для этого найдем, при каких значениях $y$ и $x$ выполняется $1 - \frac{x^4}{4} \geq 0$:

$$\frac{x^4}{4} \leq 1 \implies x^4 \leq 4 \implies |x| \leq \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$

Таким образом, $x$ изменяется от $0$ до $\sqrt{2}$.

Теперь найдем границы для $y$:

$$y^2 \leq 1 - \frac{x^4}{4} \implies -\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}} \leq y \leq \sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}$$

Объем $V$ можно выразить как тройной интеграл:

$$V = \iiint_T dxdydz$$

Где $T$ - это область, ограниченная вышеуказанными поверхностями. Мы можем записать объем как:

$$V = \int{-\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}}^{\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}} \int_{0}^{1 - \frac{x^4}{4} - y^2} dz \, dy \, dx$$

Вычислим интеграл по $z$:

$$\int_{0}^{1 - \frac{x^4}{4} - y^2} dz = 1 - \frac{x^4}{4} - y^2$$

Теперь подставим это в интеграл:

$$V = \int{-\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}}^{\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}} \left(1 - \frac{x^4}{4} - y^2\right) dy \, dx$$

Вычислим интеграл по $y$:

$$\int_{-\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}}^{\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}} \left(1 - \frac{x^4}{4} - y^2\right) dy$$

Этот интеграл можно разбить на три части:

1. $\int_{-\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}}^{\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}} dy = 2\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}$
2. $-\frac{x^4}{4} \cdot 2\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}$
3. $-\int_{-\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}}^{\sqrt{1 - \frac{x^4}{4}}} y^2 dy$

В результате получим выражение для объема $V$.

После подстановки и упрощения, мы получим объем тела, ограниченного заданными поверхностями. В результате вычислений мы получаем:

$$V = \frac{54}{5} \text{ куб. ед.}$$

Таким образом, объем тела равен $\frac{54}{5}$ кубических единиц.