Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y = sqrt(x) y = (x - 2) ^ 2 ось абсцисс.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sqrt{x}$ и $y = (x - 2)^2$, а также осью абсцис...

Для начала найдем точки пересечения функций $y = \sqrt{x}$ и $y = (x - 2)^2$. Для этого приравняем их:

$$\sqrt{x} = (x - 2)^2$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$x = (x - 2)^4$$

Теперь раскроем правую часть:

$$x = x^2 - 4x + 4$$

Переносим все в одну сторону:

$$0 = x^2 - 5x + 4$$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

Таким образом, точки пересечения находятся в $x = 1$ и $x = 4$.

Теперь мы можем вычислить площадь между графиками от $x = 1$ до $x = 4$. Площадь $S$ можно найти по формуле:

$$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$$

где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя функция. В данном случае:

• $f(x) = \sqrt{x}$
• $g(x) = (x - 2)^2$

Теперь вычислим интеграл:

$$S = \int_{1}^{4} \left( \sqrt{x} - (x - 2)^2 \right) \, dx$$

Сначала упростим выражение под интегралом:

$$\sqrt{x} - (x - 2)^2 = \sqrt{x} - (x^2 - 4x + 4) = \sqrt{x} - x^2 + 4x - 4$$

Теперь вычислим интеграл:

$$S = \int_{1}^{4} \left( \sqrt{x} - x^2 + 4x - 4 \right) \, dx$$

Теперь найдем первообразные для каждого из членов:

1. $\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2}$
2. $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$
3. $\int 4x \, dx = 2x^2$
4. $\int 4 \, dx = 4x$

Теперь подставим все в интеграл:

$$S = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 4x \right]_{1}^{4}$$

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

1. Для $x = 4$:

$$S(4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4$$

$$= \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{64}{3} + 32 - 16$$

$$= \frac{16}{3} - \frac{64}{3} + 32 - 16$$

$$= \frac{16 - 64 + 96 - 48}{3} = \frac{0}{3} = 0$$

2. Для $x = 1$:

$$S(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1$$

$$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + 2 - 4$$

$$= \frac{1}{3} + 2 - 4 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3}$$

Теперь найдем разность:

$$S = S(4) - S(1) = 0 - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{5}{3}$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sqrt{x}$ и $y = (x - 2)^2$, а также осью абсцисс, равна:

$$\boxed{\frac{5}{3}}$$