Разбор задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции

Условие:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции $ \left{

\begin{array}{l}\nx(t)=4(t-\sin t) \\y(t)=4(1-\cos t),\end{array}

Функции координат:

\nx(t) = 4(t - \sin t)

\ny(t) = 4(1 - \cos t)

Интервал изменения параметра:

0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}

Площадь $S$ фигуры, ограниченной данной кривой и осью $Ox$ .

Площадь фигуры, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

\nS = \int_{t_1}^{t_2} y(t) \cdot x'(t) \, dt

Шаг 1: Найдем производную $x'(t)$ Так как $x(t) = 4(t - \sin t)$ , то:

\nx'(t) = \frac{d}{dt} [4(t - \sin t)] = 4(1 - \cos t)

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой $x(t)$, $y(t)$ и осью абсцисс?

$S = \int_{t_1}^{t_2} x(t) \cdot y'(t) \, dt$

$S = \int_{t_1}^{t_2} y(t) \cdot x'(t) \, dt$

$S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt$