1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Вычислить площадь фигуры в полярных координатах. Найти...
Разбор задачи

Вычислить площадь фигуры в полярных координатах. Найти площадь фигуры, находящуюся вне лемнискаты и внутри окружности .

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Аналитическая геометрия
Вычислить площадь фигуры в полярных координатах. Найти площадь фигуры, находящуюся вне лемнискаты и внутри окружности .

Условие:

Вычислить площадь фигуры в полярных координатах. Найти площадь фигуры, находящуюся вне лемнискаты r=6cos⁡(2φ)3r=\frac{\sqrt{6} \sqrt{\cos (2 \varphi)}}{3} и внутри окружности r=33r=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Решение:

1. Дано

Нам даны две кривые в полярных координатах:

  1. Лемниската: r1=6cos⁡(2φ)3r_1 = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\cos (2 \varphi)}}{3}
  2. Окружность: r2=33r_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}

2. Найти

Требуется найти площадь фигуры SS, которая находится вне лемнискаты (r>r1r > r_1) и внутри окружности (r<r2r < r_2).

3. Решение

Площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми, вычисляется по формуле:

S=12∫αβ(rвнешн2−rвнутр2)dφS = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left( r_{\text{внешн}}^2 - r_{\text{внутр}}^2 \right) d\varphi

В нашем случае внешняя граница — это окружность rвнешн=r2r_{\text{внешн}} = r_2, а внутренняя граница — лемниска...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для полярной кривой $r = f(\varphi)$, чтобы она была определена в полярных координатах?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Больше о Кэмпе

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я