Вычислить предел функции, пользуясь первым замечательным пределом

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Условие:

Вычислить предел функции, пользуясь первым замечательным пределом

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x)}{\arcsin (4 x)} .

Решение:

Чтобы вычислить предел функции

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x)}{\arcsin (4 x)},

мы можем воспользоваться первым замечательным пределом, который гласит, что

\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1.

Для начала, давайте преобразуем наш предел, чтобы он соответствовал этому виду. Мы можем записать его следующим образом:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\arcsin(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{\arcsin(4x)}.

Теперь мы можем рассмотреть каждый из этих пределов отдельно.

Первый предел:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно использования первого замечательного предела при вычислении предела вида $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\arcsin(bx)}$?

Первый замечательный предел применим только к числителю, а знаменатель требует использования правила Лопиталя.

Для применения первого замечательного предела необходимо домножить и разделить числитель и знаменатель на соответствующие аргументы, чтобы получить выражения вида $\frac{\sin(ax)}{ax}$ и $\frac{bx}{\arcsin(bx)}$ .