Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} x}{\ln \sqrt{x-1}-\ln \sqrt{x+1}}

Решение:

Для вычисления предела

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} x}{\ln \sqrt{x-1}-\ln \sqrt{x+1}}

мы сначала определим, что происходит с числителем и знаменателем при $x \rightarrow +\infty$ .

Шаг 1: Анализ числителя

При $x \rightarrow +\infty$ , $\operatorname{arctg} x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ . Следовательно,

\frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x \rightarrow 0.

Шаг 2: Анализ знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно применения правила Лопиталя к пределу вида $\frac{0}{0}$?

Правило Лопиталя применимо только в том случае, если производные числителя и знаменателя существуют и не равны нулю в точке, к которой стремится переменная.

Правило Лопиталя позволяет заменить предел отношения функций пределом отношения их производных, если исходный предел является неопределенностью вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ .