Вычислить угол между векторами , где - единичные взаимно перпендикулярные векторы

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Вычислить угол между векторами , где - единичные взаимно перпендикулярные векторы

Условие:

Вычислить угол между векторами $\bar{a}{ }_{\text {и }} \bar{b}$ , где $\bar{p}{ }_{\text {и }} \bar{q}$ - единичные взаимно перпендикулярные векторы

\bar{a}=5 \bar{p}-11 \bar{q}, \quad \bar{b}=-20 \bar{p}-11 \bar{q}

Решение:

Чтобы вычислить угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}

где $\bar{a} \cdot \bar{b}$ - скалярное произведение векторов, а $|\bar{a}|$ и $|\bar{b}|$ - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение $\bar{a} \cdot \bar{b}$ .

Векторы заданы как:

\bar{a} = 5 \bar{p} - 11 \bar{q}, \quad \bar{b} = -20 \bar{p} - 11 \bar{q}

Скалярное произведение вычисляется по формуле:

\bar{a} \cdot \bar{b} = (5 \bar{p} - 11 \bar{q}) \cdot (-20 \bar{p} - 11 \bar{q})

Раскроем скобки:

\bar{a} \cdot \bar{b} = 5 \bar{p} \cdot (-20 \bar{p}) + 5 \bar{p} \cdot (-11 \bar{q}) - 11 \bar{q} \cdot (-20 \bar{p}) - 11 \bar{q} \cdot (-11 \bar{q})

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство единичных взаимно перпендикулярных векторов $\bar{p}$ и $\bar{q}$ является ключевым для упрощения вычисления скалярного произведения $\bar{a} \cdot \bar{b}$?

(\bar{p} \cdot \bar{q} = 1)

(\bar{p} \cdot \bar{q} = 0)

(|\bar{p}| = |\bar{q}| = 0)