Вычислите матрицу Гессе для функции Розенброка

Добавлена: 09.05.2026
Обновлена: 09.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Условие:

Вычислите матрицу Гессе для функции Розенброка

\mathrm{f}(\mathrm{X})=100\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}^{2}\right)^{2}+0.5\left(1-\mathrm{x}_{1}\right)^{2} \text { в точке } \mathrm{X}^{0}=(0,2)^{\mathrm{T}} .

Решение:

Чтобы вычислить матрицу Гессе для функции Розенброка, сначала запишем функцию:\nf(X) = 100(x2 - x1^2)² + 0.5(1 - x1)².
Здесь X = (x1, x2)ᵀ.
Теперь найдем частные производные второго порядка, чтобы получить матрицу Гессе.

Найдем частные производные первого порядка:
∂f/∂x1 = ∂/∂x1 [100(x2 - x1²)² + 0.5(1 - x1)²].
Используем правило цепочки и производные:
∂f/∂x1 = 100 * 2(x2 - x1²)(-2x1) + 0.5 * 2(1 - x1)(-1)
= -400x1(x2 - x1²) - (1 - x1).
∂f/∂x2 = ∂/∂x2 [100(x2 - x1²)² + 0.5(1 - x1)²].
Здесь x2 является независимой переменной:
∂f/...