Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость.

1. Дано

Нам дан несобственный интеграл вида:

$$I = \int_{1}^{a} \frac{dx}{x \sqrt{\ln x}}$$

где $a > 1$ (поскольку при $x=1$ подынтегральная функция имеет особенность, а если бы $a<1$, то $\ln x$ был бы отрицательным, что недопустимо для действительного корня).

2. Найти

Найти значение несобственного интеграла $I$ или установить его расходимость.

3. Решение

Поскольку нижний предел интегрирования $x=1$ является точкой, в которой подынтегральная функция не определена (из-за $\ln 1 = 0$), этот интеграл является несобственным интегралом первого рода.

Шаг 1: Переход к пределу

Опре...