Вычислите предел числовой последовательности.

Добавлена: 17.04.2026
Обновлена: 17.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Условие:

Вычислите предел числовой последовательности.

\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \sqrt[3]{5 n^{2}}+\sqrt[4]{16 n^{8}+1}}{(n+\sqrt{n}) \sqrt{7-n+n^{2}}}

Решение:

Давайте вычислим предел числовой последовательности:

\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \sqrt[3]{5 n^{2}}+\sqrt[4]{16 n^{8}+1}}{(n+\sqrt{n}) \sqrt{7-n+n^{2}}}

Шаг 1: Упростим числитель.

В числителе у нас два слагаемых:

Первое слагаемое: $n \sqrt[3]{5 n^{2}} = n \cdot (5 n^{2})^{1/3} = n \cdot 5^{1/3} n^{2/3} = 5^{1/3} n^{1 + \frac{2}{3}} = 5^{1/3} n^{\frac{5}{3}}$ .
Второе слагаемое: $\sqrt[4]{16 n^{8}+1}$ . При $n \to \infty$ доминирующим членом будет $16 n^{8}$ , поэтому:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для вычисления предела отношения двух многочленов или выражений, содержащих степени n, при n стремящемся к бесконечности?

Метод Лопиталя

Выделение старших степеней n в числителе и знаменателе

Подстановка бесконечности напрямую в выражение