Вычислите тройной интеграл ∫∫∫ dx dy dz / (1 + x + y + z)^3, переходя к цилиндрическим координатам. Область интегрирования ограничена поверхностями: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z + 1 = 0.

Мы хотим вычислить тройной интеграл

I = ∭₍V₎ [dx dy dz/(1 + x + y + z)³],

где область V – тетраэдр, ограниченный плоскостями   x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z + 1 = 0.

Заметим, что уравнение плоскости x + y + z + 1 = 0 можно записать как   x + y + z = –1. Далее разберём, какая из половинных областей выбирается.

1. Определение области интегрирования

Возьмём точку (0,0,0). Для неё:   x + y + z + 1 = 0 + 1 = 1 0. Таким образом точка (0,0,0) лежит по одну сторону от плоскости (там, где 1 + x + y + z 0). Но плоскости x = 0, y = 0, z = 0 задают уровни, и посмотреть можно так.
Если, наприм...