Задача 35. Пусть G - топологическая группа, то есть группа, одновременно являющаяся топологическим пространством, в которой групповая операция и операция взятия обратного элемента являются непрерывными отображениями из G × G в G и из G B G, соответственно. Докажите, что группа т (G, 1) коммутативна.
Нам нужно доказать, что фундаментальная группа топологической группы G в точке единицы, которая обозначается здесь как т(G, 1) (то есть π₁(G, 1)), коммутативна.
Пошагово:
Пусть α и β – два петли в G, то есть непрерывные отображения α, β: [0, 1] → G, удовлетворяющие α(0) = α(1) = 1 и β(0) = β(1) = 1, где 1 – единица в G. Класс гомотопии таких петель и составляет элемент π₁(G, 1).
В фундаментальной группе обычно определяют операцию «конкатенации путей»: если заданы петли α и β, то их произведение α⋆β определяется так, что сначала идём по α, затем по β (с соответствующим перенормирование...