Задачи про кольцо гауссовых чисел : ) При каких простых имеется ненулевой гомоморфизм колец ? б) Какие простые остаются таковыми в ? в) Разложите 7 и на простые множители в .

a) Чтобы определить, при каких простых $p \in \mathbb{N}$ существует ненулевой гомоморфизм колец $\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}/(p)$, нужно понять, как элементы кольца $\mathbb{Z}[i]$ отображаются в кольцо $\mathbb{Z}/(p)$.

Гомоморфизм будет ненулевым, если он не отображает все элементы $\mathbb{Z}[i]$ в ноль. Это возможно, если $p$ не делит $1$ в $\mathbb{Z}[i]$.

Также важно заметить, что $\mathbb{Z}[i]$ является интегральным доменом, и его элементы можно представить в виде $a + bi$, где $a, b \in \mathbb{Z}$.

Гомоморфизм $\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}/(p)$...