Задан линейный оператор , в некотором базисе пространства имеющий матрицу . Найти вещественные собственные значения с указанием их кратностей и собственные подпространства, отвечающие этим собственным значениям. Является ли оператор диагонализируемым?

Для нахождения собственных значений и собственных подпространств линейного оператора, представленного матрицей $A$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти характеристический многочлен. Для этого вычислим определитель матрицы $A - \lambda I$, где $I$ - единичная матрица, а $\lambda$ - собственное значение.

   $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 2 & -5 \\ 6 & 4 - \lambda & -9 \\ 5 & 3 & -7 - \lambda \end{pmatrix}$$

   Теперь вычислим определитель этой матрицы:

   $$\text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 2 & -5 \\ 6 & 4 - \lambda & -9 \\ 5 & 3 & -7 - \lambda \end{vmatrix}$$

   Используя правило Саррюса или разложение по строкам, мы можем вычислить определитель. Для простоты, воспользуемся разложением по первой строке:

   $$= (4 - \lambda) \begin{vmatrix} 4 - \lambda & -9 \\ 3 & -7 - \lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 6 & -9 \\ 5 & -7 - \lambda \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 6 & 4 - \lambda \\ 5 & 3 \end{vmatrix}$$