Задано математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины , плотность вероятности которой имеет вид: Найти: 1) вероятность того, что значения попадут в интервал ; 2) вероятность того, что абсолютная

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Задано математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины , плотность вероятности которой имеет вид: Найти: 1) вероятность того, что значения попадут в интервал ; 2) вероятность того, что абсолютная

Условие:

Задано математическое ожидание $a$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma$ нормально распределенной случайной величины $\boldsymbol{X}$ , плотность вероятности которой имеет вид:

f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-a)^{2}}{2 \sigma^{2}}}

Найти:

вероятность того, что значения $\boldsymbol{X}$ попадут в интервал $(\alpha ; \beta)$ ;
вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше $\varepsilon$ ;
найти интервал, в который с вероятностью $p=0,9973$ попадут значения $\boldsymbol{X}$ .
$a=14, \sigma=1, \alpha=8, \beta=18, \varepsilon=2$

Решение:

Рассмотрим нормальное распределение случайной величины X с плотностью

f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(–(x – a)²/(2σ²)).

Нам заданы: a = 14, σ = 1, α = 8, β = 18, ε = 2. Выполним пошаговое решение по каждому пункту.

Найти вероятность того, что X попадёт в интервал (α; β) = (8; 18).

Шаг 1.1. Приведём случайную величину к стандартному нормальному распределению с помощью преобразования:
Z = (X – a)/σ.
Для X = 8: Z₁ = (8 – 14)/1 = –6.
Для X = 18: Z₂ = (18 – 14)/1 =
4.

Шаг 1.2. Вероятность того, что X ∈ (8...