Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2 , по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске

Добавлена: 06.06.2026
Обновлена: 06.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дискретная математика
#Теория чисел

Условие:

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2 , по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$ , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$ , а остальные числа, равные $n$ , стираются. Например, если задуманы числа 1 , $3,3,4$ , то на доске будет записан набор $1,3,4,5,6,7,8,10,11$ .\na) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $2,4,6,8,10$ . б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $1,3,4,5,6,8,10,11,12$ , $13,15,17,18,19,20,22$ ? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $7,8,10,15,16,17,18,23,24,25$ , 26, 31, 33, 34, 41.

Решение:

Для решения этой задачи важно понимать, что если мы задумали набор чисел $\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$ , то на доске окажутся все возможные суммы вида $\sum_{i \in I} a_i$ , где $I \subseteq \{1, 2, \dots, k\}$ и $I \neq \emptyset$ .

а) Пример для набора $\{2, 4, 6, 8, 10\}$

Нам нужно получить все четные числа от $2$ до $10$ . Заметим, что все эти числа делятся на $2$ . Если мы возьмем числа $a_i$ , кратные $2$ , то и все их суммы будут кратны $2$ . Пусть задуманные числа — $\{2, 2, 2, 2, 2\}$ . Тогда возможные суммы:

Сумма одного числа: $2$
Сумма двух: $2+2 = 4$
Сумма трех: $2+2+2 = 6$ -...