Условие:
1. Записать двойной интеграл функции f(x,y) по области D в виде повторных интегралов двумя способами и сделать чертеж области интегрирования. Даны три варианта:
а) область D ограничена линиями x=2, x=4, y=0, y=3
б) область D ограничена линиями y=0, x=y, x+y=5
в) область D ограничена линиями y = x², 25 - y = x²
Решение:
Давайте рассмотрим каждый из предложенных вариантов по отдельности и запишем двойной интеграл функции \( f(x,y) \) по области \( D \) в виде повторных инт...
Область \( D \) ограничена линиями \( x=2 \), \( x=4 \), \( y=0 \), \( y=3 \). 1. : - Прямоугольник с вершинами в точках \( (2,0) \), \( (4,0) \), \( (4,3) \), \( (2,3) \). 2. : - В виде \( dy \, dx \): \[ \iint{2}^{4} \int_{0}^{3} f(x,y) \, dy \, dx \] - В виде \( dx \, dy \): \[ \iint{0}^{3} \int_{2}^{4} f(x,y) \, dx \, dy \] Область \( D \) ограничена линиями \( y=0 \), \( x=y \), \( x+y=5 \). 1. : - Треугольник с вершинами в точках \( (0,0) \), \( (5,0) \), \( (2.5,2.5) \). 2. : - В виде \( dy \, dx \): \[ \iint{0}^{5} \int_{0}^{5-x} f(x,y) \, dy \, dx \] - В виде \( dx \, dy \): \[ \iint{0}^{2.5} \int_{y}^{5-y} f(x,y) \, dx \, dy \] Область \( D \) ограничена линиями \( y = x^2 \) и \( 25 - y = x^2 \) (или \( y = 25 - x^2 \)). 1. : - Область между параболами \( y = x^2 \) и \( y = 25 - x^2 \). Пересечение происходит в точках \( (-5, 25) \) и \( (5, 25) \). 2. : - В виде \( dy \, dx \): \[ \iint{-5}^{5} \int_{x^2}^{25 - x^2} f(x,y) \, dy \, dx \] - В виде \( dx \, dy \): \[ \iint{0}^{25} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y) \, dx \, dy \] Таким образом, для каждого варианта мы записали двойной интеграл в виде повторных интегралов и описали область интегрирования.