Условие:
Найди длину дуги параболы y=x^2, от х=0 до х=1, построй искомые площади и распиши все подробно
Решение:
Рассмотрим функцию y = x². Чтобы найти длину дуги этой кривой на отрезке от x = 0 до x = 1, воспользуемся формулой длины дуги для функции y = f(x):
L = ∫[от x1 до x2] √(1 + (dy/dx)²) dx.
-
Найдём производную функции y = x²: dy/dx = 2x.
-
Подставим производную в формулу длины дуги: L = ∫₀¹ √(1 + (2x)²) dx = ∫₀¹ √(1 + 4x²) dx.
-
Для вычисления интеграла I = ∫₀¹ √(1 + 4x²) dx сделаем замену переменной. Обозначим u = 2x, тогда du = 2 dx, откуда dx = du/2. При x = 0 находим u = 0, а при x = 1 – u = 2. Таким образом, интеграл принимает вид: I = ∫₀² √(1 + u²) · (du/2) = ½ ∫₀² √(1 + u²)...