Записать общее решение однородного уравнения. Указать вид частного решения неоднородного уравнения (без вычисления коэффициентов)

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Записать общее решение однородного уравнения. Указать вид частного решения неоднородного уравнения (без вычисления коэффициентов)

y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}+6 y=e^{-3 x} \sin 2 x+e^{-x}+\cos 3 x+x-x^{2} e^{-x}

Решение:

Для решения данной задачи начнем с однородного уравнения, которое соответствует данному неоднородному уравнению:

y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}+6 y = 0.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

r^3 + 6r^2 + 11r + 6 = 0.

Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения

Для нахождения корней мы можем использовать метод подбора или деление многочлена. Попробуем подставить некоторые значения:

Подставим $r = -1$ :

(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0.

Таким образом, $r = -1$ является корнем. Теперь мы можем разделить многочлен на $r + 1$ .

Шаг 3: Деление многочлена

Разделим $r^3 + 6r^2 + 11r + 6$ на $r + 1$ :

r^3 + 6r^2 + 11r + 6 = (r + 1)(r^2 + 5r + 6).

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из утверждений верно относительно характеристического уравнения для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?

Корни характеристического уравнения всегда являются действительными числами.

Характеристическое уравнение получается заменой каждой производной y на соответствующую степень r.

Степень характеристического уравнения всегда на единицу меньше порядка дифференциального уравнения.