Разбор задачи

Знайти визначені інтеграли.

Условие:

Знайти визначені інтеграли. $\int_{0}^{4} \frac{x^{2}-2}{\sqrt{x}} d x$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x d x}{\sqrt{2 \sin x+1}}$

Сначала упростим подынтегральное выражение. Мы можем разделить дробь:

\frac{x^{2}-2}{\sqrt{x}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}.

Теперь мы можем записать интеграл как сумму двух интегралов:

\int_{0}^{4} \left( x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}} \right) d x = \int_{0}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x - 2 \int_{0}^{4} x^{-\frac{1}{2}} d x.

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.

Первый интеграл:

\int x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}.

Подставляем пределы от 0 до 4:

\left[ \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{5} (4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} (0^{\frac{5}{2}}) = \frac{2}{5} (32) = \frac{64}{5}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод интегрирования является наиболее подходящим для вычисления определённого интеграла вида $ \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) dx $?

Интегрирование по частям

Метод замены переменной

Табличное интегрирование