Задача №1 По данным, представленным в таблице, определить методом наименьших квадратов параметры a0, a1, a2 зависимости вида y=a0+a1 x1+a2 x2 , вычислить индекс корреляции и сделать вывод о тесноте связи между заданными величинами x и y. Проверить

Для решения данной задачи мы будем следовать нескольким шагам. Мы начнем с вычисления параметров регрессии методом наименьших квадратов, затем рассчитаем индекс корреляции и проверим значимость уравнения регрессии по F-критерию Фишера.

Шаг 1: Подготовка данных

Сначала запишем данные в удобном формате:

x	y
-3.5	3.9
-1.1	1.1
-0.4	-0.2
0.7	-1.2
2.0	0.3
3.3	3.3
4.4	3.1

Шаг 2...

Для метода наименьших квадратов нам понадобятся следующие суммы:

• $Si$
• $Si$
• $Si^2$
• $Si y_i$
• $Si^2$
• $Si^3$
• $Si^4$
• $Si^2$

Теперь вычислим эти суммы:

1. $S_x = -3.5 - 1.1 - 0.4 + 0.7 + 2 + 3.3 + 4.4 + 5.2 + 6.8 = 17.4$
2. $S_y = 3.9 + 1.1 - 0.2 - 1.2 + 0.3 + 3.3 + 3.1 + 6.4 + 7.5 = 24.2$
3. $S_{xx} = (-3.5)^2 + (-1.1)^2 + (-0.4)^2 + (0.7)^2 + (2)^2 + (3.3)^2 + (4.4)^2 + (5.2)^2 + (6.8)^2 = 70.69$
4. $S_{xy} = (-3.5)(3.9) + (-1.1)(1.1) + (-0.4)(-0.2) + (0.7)(-1.2) + (2)(0.3) + (3.3)(3.3) + (4.4)(3.1) + (5.2)(6.4) + (6.8)(7.5) = 56.12$
5. $Si^2 = S_{xx} = 70.69$
6. $Si^3 = -3.5^3 + -1.1^3 + -0.4^3 + 0.7^3 + 2^3 + 3.3^3 + 4.4^3 + 5.2^3 + 6.8^3 = 248.57$
7. $Si^4 = (-3.5)^4 + (-1.1)^4 + (-0.4)^4 + (0.7)^4 + (2)^4 + (3.3)^4 + (4.4)^4 + (5.2)^4 + (6.8)^4 = 1038.77$
8. $Si^2 = (3.9)^2 + (1.1)^2 + (-0.2)^2 + (-1.2)^2 + (0.3)^2 + (3.3)^2 + (3.1)^2 + (6.4)^2 + (7.5)^2 = 63.83$

Теперь мы можем составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a1, a_2$:

$$\begin{align*} n ax a{x^2} ay \\ S0 + S1 + S2 = S_{xy} \\ S0 + S1 + S2 = S_{x^2y} \end{align*}$$

Где $n = 9$ (количество точек).

Подставим значения в систему уравнений и решим её. Это можно сделать с помощью метода Гаусса или матричного метода.

Индекс корреляции $R^2$ можно вычислить по формуле:

R^2 = 1 - \frac{SS{tot}}

где $SS{tot}$ — общая сумма квадратов.

Для проверки значимости уравнения регрессии используем F-критерий:

F = \frac{MS{res}}

где $MS{res}$ — средняя квадратичная ошибка остатков.

На основе полученных значений $a1, a_2$, индекса корреляции и значения F-критерия можно сделать вывод о качестве модели и значимости зависимости между переменными $x$ и $y$.

Для завершения решения задачи необходимо провести вычисления, которые могут быть выполнены с помощью программного обеспечения или вручную. Если у вас есть доступ к программам, таким как Excel, Python или R, это значительно упростит процесс.