4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) АС = 3, АВ = 5; б) АС-10, ВС-8; в) ВС - 3v3, AB-6V2. 5.

Чтобы найти синус, косинус и тангенс углов A и B прямоугольного треугольника ABC, мы будем использовать основные тригонометрические соотношения. Напомним, что в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла $\alpha$ (например, уг...

1. Находим $BC$ с помощью теоремы Пифагора:

   $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

2. Теперь находим синус, косинус и тангенс углов A и B:

   • Для угла A:

     $$\sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$$
     $$\cos A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$$
     $$\tan A = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}$$

   • Для угла B:

     $$\sin B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$$
     $$\cos B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$$
     $$\tan B = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}$$

3. Находим $AB$:

   $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$$

4. Теперь находим синус, косинус и тангенс углов A и B:

   • Для угла A:

     $$\sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}$$
     $$\cos A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}$$
     $$\tan A = \frac{AC}{BC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$

   • Для угла B:

     $$\sin B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}$$
     $$\cos B = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}$$
     $$\tan B = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

5. Находим $AC$:

   $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{72 - 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

6. Теперь находим синус, косинус и тангенс углов A и B:

   • Для угла A:

     $$\sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$$
     $$\cos A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$
     $$\tan A = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$$

   • Для угла B:

     $$\sin B = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$
     $$\cos B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$$
     $$\tan B = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$$

Таким образом, мы нашли синусы, косинусы и тангенсы углов A и B для всех трех случаев.