4. Вписанный в окружность четырехугольник ABCD имеет стороны AB=5, BC=4, CD=3. Найдите длину стороны AD , если известно, что диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом (используя теорему Птолемея).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Птолемея, которая утверждает, что для вписанного в окружность четырехугольника ABCD выполняется равенство:

AB CD + AD BC = AC * BD.

Дано: AB = 5, BC = 4, CD = 3, AD = x (длина стороны, которую мы ищем).

Подставим известные значения в формулу:

5 3 + x 4 = AC * BD.

Это упростится до:

15 + 4x = AC * BD. (1)

Теперь, поскольку диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, мы можем использовать свойство, что произведение длин отрезков, на которые делятся диагонали, равно произведению длин их частей:

AC BD = AO OC BO OD,

где O - точка пере...