C D overparen{Im}6(15): 4 Ort Shimon Peres Yoqne'am Ilit, A Comprehensive School for Leadership, Innovation and Excellence שמעון 0 יקנעם עלית פרק א׳ - גיאומטריה שאלה 1 בטרפז CEIIBA [ABCE], נתון CD=DE. הנקודה F נמצאת על האלכסון BE כך שמתקיים: CF ⊥ BE.

24 октября 2025
Геометрия

Условие:

C D \overparen{\Im}₆(15): 4
Ort Shimon Peres Yoqne'am Ilit, A Comprehensive School for Leadership, Innovation and Excellence
שמעון 0 יקנעם עלית
פרק א׳ - גיאומטריה
שאלה 1

בטרפז CEIIBA [ABCE], נתון CD=DE. הנקודה F נמצאת על האלכסון BE כך שמתקיים: CF ⊥ BE. הנקודה G היא נקודת החיתוך של
. עם FD
נתון: 4 ס״מ=EA, 3 ס״מ=EB ,ED חוצה זווית AEC.
א. הוכיחו : △ EDF~
ב. הוכיחו כי המרובע AGDE הוא מקבילית.
ג. שטח המשולש EDF הוא P. הביעו באמצעות P את שטח המשולש BGF. נמקו תשובתכם.

Решение:

Для решения задачи, давайте разберем каждый пункт по порядку.

Дано:

- Трапеция \( CEIIBA \) с основаниями \( AB \) и \( CE \).
- \( CD = DE \).
- Точка \( F \) находится на диагонали \( BE \), и \( CF \perp BE \).
- Точка \( G \) — это точка пересечения \( FD \) с \( BE \).
- Даны длины: \( EA = 4 \) см, \( EB = 3 \) см.
- Отрезок \( ED \) биссектрисса угла \( AEC \).

А. Доказать, что \( \triangle EDF \sim \triangle...

1. : - Угол \( EDF \) равен углу \( EBG \) (так как \( ED \) — биссектрисса). - Угол \( EFD \) равен углу \( EGB \) (так как \( CF \perp BE \), и \( FG \) — это общая сторона). 2. : - У нас есть два угла, равные, и один общий угол \( E \). Следовательно, по критерию равенства углов \( \triangle EDF \sim \triangle EBG \). 1. : - Поскольку \( CD = DE \) и \( ED \) — биссектрисса, то \( AG \) и \( DE \) параллельны (по свойству биссектрисы). - Также, \( AF \) и \( EG \) являются параллельными, так как \( CF \perp BE \). 2. : - Если две пары противоположных сторон равны и параллельны, то четырехугольник \( AGDE \) является параллелограммом. 1. : - Площадь треугольника \( EDF \) можно выразить через его основание \( ED \) и высоту \( CF \). - Площадь треугольника \( BGF \) также можно выразить через основание \( BG \) и высоту \( CF \). 2. : - Так как \( \triangle EDF \sim \triangle EBG \), то площади этих треугольников пропорциональны квадратам их соответствующих сторон. - Поскольку \( EB = 3 \) см и \( EA = 4 \) см, то отношение площадей будет равно \( \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} \). Таким образом, если площадь \( EDF = P \), то площадь \( BGF \) будет равна: \[ \text{Площадь } BGF = P \cdot \frac{9}{16} \] 1. \( \triangle EDF \sim \triangle EBG \) 2. Четырехугольник \( AGDE \) является параллелограммом. 3. Площадь треугольника \( BGF = P \cdot \frac{9}{16} \).